Равностепенная непрерывность

Не следует путать с Равномерная непрерывность.

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций, заключающееся в том, что всё семейство функций изменяется некоторым контролируемым образом. Применяется, чтобы выбрать равномерно сходящуюся последовательность из некоторого семейства функций: теорема Арцела — Асколи позволяет это сделать для равностепенно непрерывного и равномерно ограниченного семейства на, например, компактном метрическом пространстве.

Определение

Точное определение равностепенной непрерывности зависит от контекста. В простейшем варианте пусть $C(a,b)$ — семейство вещественнозначных непрерывных функций на отрезке $[a,b]$, а $D\subset C(a,b)$ — некоторое его подсемейство. Это подсемейство называется равностепенно непрерывным, если для любого $\varepsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что для любой функции $f\in D$ и любых точек $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ из условия $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ следует условие $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$. Как видно, условие равностепенной непрерывности семейства функций отличается от условия равномерной непрерывности всех функции по отдельности перенесением фрагмента «для любой $f\in D$» под пару кванторов на эпсилон и дельту.

Это определение можно дословно обобщить на случай компактных метрических пространств $X$ и $Y$ и подсемейства $D\subset C(X,Y)$ семейства непрерывных отображений из $X$ в $Y$: подсемейство $D$ называется равностепенно непрерывным, если для любого $\varepsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что для любой функции $f\in D$ и любых точек $x_{1},x_{2}\in X$ из условия $d_{X}(x_{1},\;x_{2})<\delta$ следует условие $d_{Y}(f(x_{1}),\;f(x_{2}))<\varepsilon$.

Путём замены $\varepsilon$-$\delta$-формализма на формализм открытых подмножеств получается более общее определение для топологических пространств $X$ и $Y$ и подсемейства $D\subset C(X,Y)$ семейства непрерывных отображений из $X$ в $Y$: подсемейство $D$ называется равностепенно непрерывным в точке $x\in X$ и точке $y\in Y$, если для любой окрестности $W\ni y$ существует такая окрестность $V\ni x$, что любая функция $f\in D$ переводит $V$ в $W$. Отображение называется равностепенно непрерывным, если условие выше выполнено для всех пар $(x,y)\in X\times Y$. Если $X$ и $Y$ — топологические векторные пространства, а отображения между ними не только непрерывны, но и линейны, то достаточно проверять это условие в паре точек $(0_{X},0_{Y})$.

Теорема Арцела — Асколи

Теорема Арцела — Асколи утверждает, что для компактных метрических пространств равностепенная непрерывность $D$ равносильна относительной компактности $D$ $\subset$ $C(X,\;Y)$, снабжённом метрикой

$\rho (f,\;g)=\max _{x\in X}d_{Y}(f(x),\;g(x))$.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
• Эдвардс Р., Функциональный анализ, пер. с англ., IT., 1969.